LOGICA y Demostraciones I

Este es un tema muy delicado, pues es la base sobre la cual construiremos las matemáticas a partir de ahora.
Si ya leíste la entrada sobre Conjuntos y ya intentaste los ejercicios que deje, puede que algunos si no todos te parecieran difíciles o complicados, el propósito de esta entrada es aclarar un poco los métodos y formas que se suelen usar en matemáticas para resolver estos problemas.

LOGICA.


Proposiciones.
¿Que es una proposición?
Definición. Las proposiciones son oraciones, frases, en ocasiones simplemente parecen un montón de símbolos y cosas raras que sabemos leer, que tienen una cualidad especial «solo pueden ser verdaderos o falsos», veamos algunos ejemplos:
  -Los perros vuelan
  -El internet nació en 1675
  -Existe un país llamado México
Todas ellas pueden ser clasificadas como ciertas o falsas, pero ninguna es las dos cosas.
En general antes que ninguna otra cosa, nos importa trabajar con proposiciones, aun si no tenemos idea si la proposición es cierta o falsa, nos basta con saber que es una proposición. Por ejemplo, en la frase « Estoy diciendo una mentira» no podemos decir que sea verdadero o falso, si empezáramos a construir nuestros razonamientos sobre frases como esas, no podríamos tener ninguna seguridad con el resultado, de modo que es de suma importancia comprobar siempre, que estemos trabajando con proposiciones.

Equivalencia.
Definición.
 Si tenemos dos proposiciones una llamada P y otra llamada Q , diremos que son equivalentes lógicos si P es verdadera cuando Q es verdadera, y también cuando ocurre lo contrario, es decir, si Q es verdadera entonces P también sera verdadera.

Esta definición es de lo mas útil, cuando por ejemplo queremos enseñar que una proposición P es verdadera, podemos ver la tarea como algo increíblemente complicado en algunas ocasiones, sin embargo con bastante frecuencia sucede que podemos formular una nueva proposición Q, que sea equivalente a P, de este modo solo debemos probar que Q es cierta, y si Q parece complicada, entonces formulamos una nueva proposición Q2, que puede ser mas simple, si no, simplemente continuamos creando nuevas proposiciones equivalentes que nos ayuden a demostrar que P es cierta.
Si queremos ver un ejemplo de equivalencia, basta usar lo que vimos en la entrada anterior sobre conjuntos iguales:
Sean A,B dos conjuntos, entonces A=B si solo si A⊂B y B ⊂A.
Ahora que sabemos que son las proposiciones y que es una equivalencia, podemos decir lo siguiente:
La proposición A=B es equivalente a la proposición A⊂B y B ⊂A.
En la entrada anterior, mencione que esta era una frase muy útil, porque nos decía una forma de afirmar que dos conjuntos son iguales. Simplemente si alguien nos pide que probemos que A=B, podemos cambiar la proposición A=B por la proposición A⊂B y B ⊂A, la cual nos dice un poco mejor como se demuestra, sin embargo aun queda el problema de demostrar que A⊂B y B ⊂A. (Veremos mas adelante una forma de hacerlo)

Negación.
Con frecuencia al empezar en estas cuestiones, es fácil confundirse y enunciar la negación de una proposición de manera incorrecta. Guiado por esta idea pondré montones de ejemplos de proposiciones y su negación, antes siquiera de definir lo que es la negación.




Proposición original  (P)
Negación de la proposición (¬P)
Todos los perros pueden volar
Existe un perro que no puede volar
Todos los conjuntos tienen elementos
Hay un conjunto que no tiene elementos (otra forma es: Existe un conjunto que no tiene elementos)
Todas las manzanas son rojas
Existen manzanas que no son rojas (Hay al menos una manzana de un color distinto al rojo)
2<x
x>=2
Ya probé este tipo de comida
Nunca probé este tipo de comida


Normalmente si P es una proposición, la negación de P se entiende como «no P», en símbolos se escribe «¬P».

De esta tabla podemos notar lo siguiente:
- Las frases en la columna izquierda y en la columna derecha son todas proposiciones.
-Si la proposición de la izquierda es cierta entonces la proposición de la derecha es falsa.
-Si la proposición de la derecha es cierta entonces la proposición de la izquierda es falsa.
Estas observaciones nos proporcionan una forma de definir la negación de una proposición.

Definición. Sea P una proposición, diremos que su negación «noP» es una proposición que es verdadera cuando P es falsa y que es falsa cuando P es verdadera.

Como ya se dijo, esta definición va con cada una de las proposiciones en la tabla, por ejemplo:
La proposición (P)Todas las manzanas son rojas, cuya negación es: (¬P)Existe al menos una manzana que no es roja.
Examinándola un poco vemos que: Si de verdad todas las manzanas son rojas, entonces no puede existir una manzana que no sea roja, es decir Si P es cierta, entonces ¬P es falsa.
Por el contrario, Si P es falsa (no todas las manzanas son rojas) entonces ¬P es verdadera (hay al menos una manzana que no es roja) .

Surge con esta definición, una pregunta muy natural. Según esta definición, la negación de una proposición también es una proposición, en ese caso ¿La negación también tiene una negación? , o en términos de símbolos. Si P es una proposición y ¬P es su negación, entonces ¿existe ¬(¬P) (la negación de la negación de P )? Vista la pregunta de esta forma , parece claro que  la respuesta es si, y no solo eso, también se ve de inmediato que la proposición P es idénticamente lógica a la proposición ¬(¬P), probemos esto.
Queremos probar que: Si P es una proposición con negación ¬P, entonces la negación de ¬P es un equivalente lógico de P
Prueba de que es cierto:
Si P verdadera entonces por definición ¬P es falsa, como ¬P es falsa, nuevamente por definición, se tiene que ¬(¬P) es verdadera, de esta forma se ve que: Si P es verdadera entonces ¬(¬P) es verdadera. Por otro lado si P es falsa, entonces por definición ¬P es verdadera, y por tal vemos que ¬(¬P) tiene que ser falsa también, por lo cual, si P es falso entonces ¬(¬P) es falso.
Todo bien hasta aquí, ya probamos una parte de nuestra definición de equivalencia lógica, sin embargo, para probar que P y ¬(¬P) son equivalentes, por definición de equivalencia lógica, también debemos probar que: Si ¬(¬P) es verdadera, entonces P es verdadera y si ¬(¬P) es falsa entonces P es falsa (mas a delante veremos con mas calma el porque de este actuar) .
Para probar lo que nos falta vemos que:
Si ¬(¬P) es verdadera entonces por definición ¬P es falsa, y eso significa que P tiene que ser verdadera, por tal si ¬(¬P) es verdadera entonces P es verdadera
Si ¬(¬P) es falsa, por definición ¬P es verdadera, lo cual significa que P debe ser falsa, de esta forma vemos que también se cumple que, si ¬(¬P) entonces P es verdadera.
Si se comparan las propiedades de la relación entre P y ¬(¬P), podemos darnos cuenta que ya cumple con la definición de equivalencia lógica, de modo que estamos en posición de decir que P y ¬(¬P) son equivalentes lógicos.
                                                                 Q.E.D.

Las siglas Q.E.D del latín quod erat demostrandum, que significa «lo que se quería demostrar» , son usadas para marcar el final de una demostración.
Así es, aun sin darnos cuenta ¡ya empezamos a demostrar! pronto hablaremos mas a fondo de lo que esto significa, por el momento continuemos en donde nos quedamos.
Ahora que ya probamos la preposición «Si P es una proposición con negación ¬P, entonces la negación de ¬P es un equivalente lógico de P», podemos usarla para seguir construyendo, sin ningún problema.
Tiene sentido que P y ¬(¬P) tengan una relación de equivalencia, para ejemplificar esto, tomemos en cuenta la proposición «Ya probé este tipo de comida» cuya negación es «Nunca probé este tipo de comida», ¿Cual seria la negocian de la frase «Nunca probé este tipo de comida»?, ¡Exacto! la negación es la proposición inicial «Ya probé este tipo de comida», pero esta no es la única negación correcta, también podría ser la proposición «Alguna vez probé este tipo de comida», la cual es un equivalente lógico de «Ya probé este tipo de comida».

Implicaciones.

«Si llueve, entonces usare un paraguas»
Esta frase describe muy bien lo que es una implicación, si,si, muy bonito el ejemplo pero, ¿que es una implicación?
Para responder , citare al libro de «Introducción al análisis matemático de una variable» segunda edición en español del autor Robert G. Bartle.
«Una manera muy importante de formar una nueva proposición  a partir de proposiciones dadas es la implicación (o condicional), denotada por
(P⇒Q)  (Si P entonces Q) o (P implica Q)
En este caso a P se le llama hipótesis y a Q se le llama la conclusión de la implicación.»

Volviendo a la proposición « Si llueve, entonces usare un paraguas» , en este caso P es la frase «llueve» y Q «usare paraguas» , por lo que «llueve» es nuestra hipótesis y «usare paraguas» nuestra tesis (o conclusión de la implicación).
Si P y Q son verdaderas entonces diremos que la implicación es verdadera
Si P  es verdadera pero Q es falsa entonces la implicación sera falsa.
Si P es falsa entonces (para el caso de las matemáticas ) diremos sin importar que Q sea falsa o verdadera, que la implicación es verdadera.

Originalmente, esta entrada continuaba, sin embargo al ser muy extensa, la dividire en varias, por lo que termino aqui por hoy.