Introducion a conjuntos

Conjuntos

Como en la mayoría de los libros de matemáticas, no daré una introducción súper detallada sobre que es un conjunto, simplemente trabajaremos con ellos, sin embargo es necesario que tengamos alguna definición de conjunto.

Diremos que  «un conjunto es una colección de cosas que cumplen con una propiedad especifica», esta definición puede sonar informal  y muy vaga, sin embargo funciona para  este nivel. Dicha definición merece solo una pequeña aclaración, la propiedad del conjunto no debe prestarse a ambigüedades, es decir la propiedad debe ser lo bastante especifica para evitar confusiones y mal-interpretaciones.

Un conjunto no tiene por que tener una forma particular  o un tamaño especifico, en general los diagramas que se usan para representar un conjunto suelen aparentar lo contrario, por tal usare diagramas poco corrientes, pero no por ellos falsos, esperando que no se preste a confusiones, (si empieza a ser confuso o complicado simplemente pondré un diagrama común para evitarlo).

Veamos primero varios ejemplos de conjuntos en los que incluiré nuevas definiciones relativas a los conjuntos, algunos ejemplos pueden no tener utilidad en matemáticas pero su objetivo es mostrar algunos puntos de manera clara.

1.- El conjunto de Todas las manzanas en la tierra.
  Para este ejemplo, imaginemos un conjunto como una bolsa o un saco, que puede hacerse todo lo grande que queramos, (algo así como la bolsa de Félix el gato o la bolsa de Doraemon) en la que solo entran manzanas, y que de hecho tiene todas las manzanas de la tierra. Entonces supongamos que queremos hacerle saber a alguien que dentro tenemos al menos  una manzana, lo haremos de la siguiente forma:
- Le ponemos nombre al saco o bolsa, (es decir al conjunto), en este caso llamémosle B
-Imaginemos que  «x» es una manzana.
Para decirle a alguien que la manzana x esta en la bolsa B escribimos:
                                                                    x ∈ B
el símbolo « ∈» significa, pertenece, así podemos decir que x pertenece a B, que x esta en B, que B contiene a x, en nuestro caso también es valido: la manzana x esta en la bolsa B

Ahora, la persona a la que le hicimos saber que tenemos al menos una manzana en la bolsa, nos pregunta si tenemos plátanos también, como solo tenemos manzanas necesitamos responderle con un no, es decir que no hay plátanos en la bolsa B, para eso utilizamos el símbolo ∉.
                                                              plátano ∉ B
Pero esta persona nos sigue preguntando que otras cosas tenemos en la bolsa, de modo que debemos decirle «oye, que aquí tengo todas las manzanas de la tierra, pero solo las manzanas», para expresar eso escribimos lo siguiente en una etiqueta que pegaremos en la bolsa:
                             B:= {todas las cosas de la tierra| son manzanas }
Donde «:=» se lee como «definición, definido como» , y la barra « |  » se lee « tales que, tal que» (lo que viene después de la barra  «| »  es la propiedad que mencionábamos en la definición de conjuntos)
Por lo que se leería, B es el conjunto definido como todas las cosas en la tierra tales que son manzanas, es decir, que B tiene a todas las manzanas de la tierra, pero solo a las manzanas.

2.- Si esta vez queremos un conjunto llamado C con todas las manzanas y zanahorias entonces escribiríamos:
 C:= {Todas las cosas en la tierra | Son zanahorias o manzanas}
«El conjunto C se define como todas las cosas en la tierra que son zanahorias o manzanas»

3.- El conjunto de los números naturales se puede escribir de la siguiente forma:
N:={1,2,3,4,...}
En este caso se uso una opción diferente a la mencionada asta ahora, en lugar de decir en donde están los objetos y que propiedad deben cumplir, simplemente se pusieron algunos elementos del conjunto, en ocasiones esta es una mejor idea que usar la notación            de propiedad, si por ejemplo en un conjunto M desea meter solo dos elementos y nada mas, es una buena idea simplemente poner M:={elemento1, elemento2}, si en lugar de dos elementos desea poner por seis, la notación mas conveniente seria M:={elemento1, elemento2, elemento3, elemento4, elemento5, elemento6}
En general si no sabemos cuantas cosas tiene dentro un conjunto, usamos la notación de propiedad, o poner algunas de las cosas del conjunto, las suficientes para que el resto de personas pueda ver con facilidad cual es la propiedad del conjunto, por ejemplo
A:= {Cosa roja 1, Cosa roja 2, Cosa roja 3,...}
En este caso se entiende que A es el conjunto de todas las cosas de color rojo.

4. Veamos el conjunto al que llamaremos C donde está toda la comida disponible en su casa, pongamos en un conjunto G toda la comida que este congelada, esta vez queremos un conjunto D donde este toda la comida de su casa, menos la que este congelada, en lugar de definir de manera explicita este conjunto, se definirán C,G y D de la siguiente forma
C:={toda la comida en su casa}
G:={comida ∈ C| esta congelada} (comida que esta en C que esta congelada)
D:={la comida  ∈C| la comida ∉G} (la comida en C que no esta en G)
El símbolo «∉» se lee como «no pertenece a, no esta en» .

5.- En este ejemplo veremos algo mas útil en matemáticas, el conjunto de todos los números naturales impares. A este conjunto lo llamaremos T y lo escribiremos de la siguiente forma
(recordemos que los números naturales son el 1,2,3,... , y que los números impares son los que tienen la forma 2k+1 donde k es un numero natural)

T:= { n ∈Números naturales | n=2k+1 para algún  numero k ∈Números naturales}

 Subconjuntos

Si tiene un conjunto A y un conjunto B y además pasa que cualquier cosa en el conjunto A también esta en el conjunto B, se dice que A esta contenido en B, que B contiene a A , que A es subconjunto de B y esto se escribe de la forma siguiente:
                                          A ⊂B  o   B ⊃A
Una forma menos formal de decirlo es:
Si A y B son conjuntos, entonces A es subconjunto de B si, no importa que tan diferentes son las cosas de A, todas ellas, sin excepción,están también en  B.

Subconjunto Propio

Nuevamente si tenemos un conjunto A y un conjunto B y además A es subconjunto de B, si en B tenemos al menos una sola cosa que no esta en A, entonces decimos que A es un subconjunto propio de B.
Además en lugar de usar el símbolo   ⊂ se utiliza el símbolo ⊆ (con una raya entre las dos rayas horizontales de abajo, solo que no encuentro el símbolo en la PC)
Veamos un ejemplo  de estas definiciones

6.- En el ejemplo 4 los conjunto G y D son subconjuntos de C, porque ya sea que la comida este congelada o no, sigue siendo comida y sigue estando siempre en C.
Pero ¿que pasa en este ejemplo, si toda la comida en su casa es comida congelada? entonces G y C tienen exactamente las mismas cosas, pero G sigue siendo un subconjunto de C, y en este caso C también es subconjunto de G.
¿ Y si no tiene nada de comida congelada en su casa? pasa algo similar al caso anterior en el que G y C tenían las mismas cosas, solo que esta vez, son los conjuntos D y C los que tienen las mismas cosas, por lo que D es subconjunto de C y además C es subconjunto de D.

DEFINICION de conjuntos iguales
Si A y B son conjuntos y ambos tiene exactamente las mismas cosas, entonces decimos que A=B (El conjunto A es igual al conjunto B).
Si analizamos esta definición podemos sacar las siguiente conclusiones
  -Si A y B son iguales, entonces todas las cosas que pueda tener A, también las tiene B, por                     lo que A es un subconjunto de B ( A ⊂B) .
  -Si A y B son iguales, entonces igual que arriba, si B tiene alguna cosa, entonces esa cosa también esta en A, y por lo tanto B es un subconjunto de A ( B ⊂A) .

¿Pero que pasa si en lugar de saber que A=B, sabemos que A ⊂B y que B ⊂A?
Si A ⊂B entonces B tiene todas las cosas que tiene A
Si B ⊂A entonces A tiene todas las cosas que tiene B
Como ambas cosas pasan entonces sabemos que A tiene lo mismo que B y que B tiene lo mismo que A, por lo tanto podemos concluir que A y B son iguales (A=B).

Este tipo de relación la denotamos como si solo si, que se refiere a que si una de las dos cosas pasa entonces la otra también pasa. Con las observaciones echas se puede decir lo siguiente
Si A y B son dos conjuntos entonces A=B si solo si B ⊂A y A ⊂B.
Otra forma de enunciar este echo para comprenderlo mejor es la siguiente
Si A y B son dos conjuntos entonces las dos cosas siguientes son equivalentes :
1) A=B
2) B ⊂A y A ⊂B.
En resumen, da igual decir que A=B o que B ⊂A y A ⊂B ambas significan lo mismo.
El echo enunciado arriba A=B si solo si B ⊂A y A ⊂B, es de gran importancia en las matemáticas  que pretendo plasmar, normalmente en los libros no se toman la molestia de ser tan extensos en el por que pasa esta relación, sin embargo por experiencia, este es una de las relaciones que mas conviene tener presentes. Pongamos un ejemplo de ello.

Supongamos que tenemos el conjunto D de todos lo números reales cuyo cuadrado es cero, es decir si x ∈D entonces x*x=0, y si tenemos a J el conjunto de todos números tales que al sumárselo a otro numero de el mismo numero, es decir, si z ∈J y m es cualquier numero real, entonces z+m=m. Después se vera que el numero 0 es el único numero real con estas propiedades, de momento asumamos que son ciertas. Como cero es el único numero que tiene la propiedad x*x=0, eso quiere decir que D tiene solo un numero y es el numero cero (por que si otro numero x2 estuviera en D entonces x2*x2=0, pero eso solo pasa cuando x2=0) ahora, como cero es también el único numero que cumple que z+m=m (para cualquier numero m en los reales, otra forma de decir que el sumarle cero a algo no cambia) entones cero debe ser el único numero en el conjunto J, luego podemos decir que J ⊂D y que D ⊂J es decir que J=D.
Tal vez este ejemplo sea muy sencillo, pero en el futuro se encontraran con montones de proposiciones (oraciones lógicas que veremos después) en donde les pedirán probar que un conjunto W y un conjunto E son iguales y podrá parecer que W y E no tienen nada en común, e incluso uno puede caer en desesperación al no saber la forma en que se puede hacer lo que se pide, pues bien en estos caso todo es tan fácil como probar que W ⊂E y que E ⊂W (muchas veces esto todavía no es fácil, pero es un lugar por donde comenzar a buscar la solución), pues sabemos que si eso pasa entonces W=E.

Bien eso es todo por esta entrada, para la siguiente veremos operaciones con conjuntos, tratare de poner aun mas ejemplos que en esta ocasión y también ejemplos mas útiles.

Como ejercicio para quien quiera practicar os dejo los siguientes:

1) En  el ejercicio 4 responda ¿Si G=C entonces que pasa con D? ¿Que contiene D y cuantas cosas son? ¿Y si D=G entonces que pasa con C? ¿Cuales son los elementos de C?
2) Sea A el conjunto de todos los números de la forma 2k con k en los naturales, y sea B el conjunto de todos los números de la forma (2n)+1 con n en los naturales. Según lo que conoces de los números, ¿existe un numero «q» tal que q este en A y en B? ¿Por que (usando contenciones de conjuntos)?
3) Sea G el conjunto de los números de la forma 2k, y sea W el conjunto de los números de la forma 2(r-1) si  r es un numero natural mayor que 1 (r>1, k en los naturales), ¿Son G y W iguales? ¿Por que (usando contenciones de conjuntos)?
4) Sean A,B,C tres conjuntos, si A=B y B=C, igual que arriba diga si A=C y de una explicación usando contenciones de conjuntos.